3.575 \(\int \frac{(a+b \tan (c+d x))^3}{\tan ^{\frac{7}{2}}(c+d x)} \, dx\)

Optimal. Leaf size=270 \[ -\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}+\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)} \]

[Out]

-(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b +
b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[T
an[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]
+ Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (8*a^2*b)/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]
]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.347363, antiderivative size = 270, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 10, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.435, Rules used = {3565, 3628, 3529, 3534, 1168, 1162, 617, 204, 1165, 628} \[ -\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}+\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (\tan (c+d x)+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+1\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(7/2),x]

[Out]

-(((a + b)*(a^2 - 4*a*b + b^2)*ArcTan[1 - Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d)) + ((a + b)*(a^2 - 4*a*b +
b^2)*ArcTan[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]])/(Sqrt[2]*d) + ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 - Sqrt[2]*Sqrt[T
an[c + d*x]] + Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - ((a - b)*(a^2 + 4*a*b + b^2)*Log[1 + Sqrt[2]*Sqrt[Tan[c + d*x]]
+ Tan[c + d*x]])/(2*Sqrt[2]*d) - (8*a^2*b)/(5*d*Tan[c + d*x]^(3/2)) + (2*a*(a^2 - 3*b^2))/(d*Sqrt[Tan[c + d*x]
]) - (2*a^2*(a + b*Tan[c + d*x]))/(5*d*Tan[c + d*x]^(5/2))

Rule 3565

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[((b*c - a*d)^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 2)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(d*f*(n + 1)*(c^2 + d^2)), x] - D
ist[1/(d*(n + 1)*(c^2 + d^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m - 3)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1)*Simp[a^2*d*(b*d*(
m - 2) - a*c*(n + 1)) + b*(b*c - 2*a*d)*(b*c*(m - 2) + a*d*(n + 1)) - d*(n + 1)*(3*a^2*b*c - b^3*c - a^3*d + 3
*a*b^2*d)*Tan[e + f*x] - b*(a*d*(2*b*c - a*d)*(m + n - 1) - b^2*(c^2*(m - 2) - d^2*(n + 1)))*Tan[e + f*x]^2, x
], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && Gt
Q[m, 2] && LtQ[n, -1] && IntegerQ[2*m]

Rule 3628

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f
_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*b*B + a^2*C)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(b*f*(m + 1)*(a^2 + b^2
)), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*Simp[b*B + a*(A - C) - (A*b - a*B - b*C)*Tan[e +
f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, e, f, A, B, C}, x] && NeQ[A*b^2 - a*b*B + a^2*C, 0] && LtQ[m, -1] && NeQ[a^2
+ b^2, 0]

Rule 3529

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Simp[((
b*c - a*d)*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(a + b*Tan[e +
f*x])^(m + 1)*Simp[a*c + b*d - (b*c - a*d)*Tan[e + f*x], x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f}, x] && NeQ[b*c
- a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && LtQ[m, -1]

Rule 3534

Int[((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])/Sqrt[(b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]], x_Symbol] :> Dist[2/f, Subst[I
nt[(b*c + d*x^2)/(b^2 + x^4), x], x, Sqrt[b*Tan[e + f*x]]], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && NeQ[c^2 - d^2,
0] && NeQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 1168

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[a*c, 2]}, Dist[(d*q + a*e)/(2*a*c),
Int[(q + c*x^2)/(a + c*x^4), x], x] + Dist[(d*q - a*e)/(2*a*c), Int[(q - c*x^2)/(a + c*x^4), x], x]] /; FreeQ
[{a, c, d, e}, x] && NeQ[c*d^2 + a*e^2, 0] && NeQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[-(a*c)]

Rule 1162

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(2*d)/e, 2]}, Dist[e/(2*c), Int[1/S
imp[d/e + q*x + x^2, x], x], x] + Dist[e/(2*c), Int[1/Simp[d/e - q*x + x^2, x], x], x]] /; FreeQ[{a, c, d, e},
x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && PosQ[d*e]

Rule 617

Int[((a_) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> With[{q = 1 - 4*Simplify[(a*c)/b^2]}, Dist[-2/b, Sub
st[Int[1/(q - x^2), x], x, 1 + (2*c*x)/b], x] /; RationalQ[q] && (EqQ[q^2, 1] ||  !RationalQ[b^2 - 4*a*c])] /;
FreeQ[{a, b, c}, x] && NeQ[b^2 - 4*a*c, 0]

Rule 204

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTan[(Rt[-b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[-b, 2]), x] /
; FreeQ[{a, b}, x] && PosQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || LtQ[b, 0])

Rule 1165

Int[((d_) + (e_.)*(x_)^2)/((a_) + (c_.)*(x_)^4), x_Symbol] :> With[{q = Rt[(-2*d)/e, 2]}, Dist[e/(2*c*q), Int[
(q - 2*x)/Simp[d/e + q*x - x^2, x], x], x] + Dist[e/(2*c*q), Int[(q + 2*x)/Simp[d/e - q*x - x^2, x], x], x]] /
; FreeQ[{a, c, d, e}, x] && EqQ[c*d^2 - a*e^2, 0] && NegQ[d*e]

Rule 628

Int[((d_) + (e_.)*(x_))/((a_.) + (b_.)*(x_) + (c_.)*(x_)^2), x_Symbol] :> Simp[(d*Log[RemoveContent[a + b*x +
c*x^2, x]])/b, x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e}, x] && EqQ[2*c*d - b*e, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{(a+b \tan (c+d x))^3}{\tan ^{\frac{7}{2}}(c+d x)} \, dx &=-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{2}{5} \int \frac{6 a^2 b-\frac{5}{2} a \left (a^2-3 b^2\right ) \tan (c+d x)-\frac{1}{2} b \left (3 a^2-5 b^2\right ) \tan ^2(c+d x)}{\tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{2}{5} \int \frac{-\frac{5}{2} a \left (a^2-3 b^2\right )-\frac{5}{2} b \left (3 a^2-b^2\right ) \tan (c+d x)}{\tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)} \, dx\\ &=-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{2}{5} \int \frac{-\frac{5}{2} b \left (3 a^2-b^2\right )+\frac{5}{2} a \left (a^2-3 b^2\right ) \tan (c+d x)}{\sqrt{\tan (c+d x)}} \, dx\\ &=-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{4 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{-\frac{5}{2} b \left (3 a^2-b^2\right )+\frac{5}{2} a \left (a^2-3 b^2\right ) x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{5 d}\\ &=-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{\left ((a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1+x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{d}-\frac{\left ((a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1-x^2}{1+x^4} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{d}\\ &=-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{\left ((a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1-\sqrt{2} x+x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 d}+\frac{\left ((a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{1+\sqrt{2} x+x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 d}+\frac{\left ((a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{2}+2 x}{-1-\sqrt{2} x-x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \sqrt{2} d}+\frac{\left ((a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\sqrt{2}-2 x}{-1+\sqrt{2} x-x^2} \, dx,x,\sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{2 \sqrt{2} d}\\ &=\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}+\frac{\left ((a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-x^2} \, dx,x,1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}-\frac{\left ((a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right )\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-x^2} \, dx,x,1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}\\ &=-\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{(a+b) \left (a^2-4 a b+b^2\right ) \tan ^{-1}\left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}\right )}{\sqrt{2} d}+\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (1-\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{(a-b) \left (a^2+4 a b+b^2\right ) \log \left (1+\sqrt{2} \sqrt{\tan (c+d x)}+\tan (c+d x)\right )}{2 \sqrt{2} d}-\frac{8 a^2 b}{5 d \tan ^{\frac{3}{2}}(c+d x)}+\frac{2 a \left (a^2-3 b^2\right )}{d \sqrt{\tan (c+d x)}}-\frac{2 a^2 (a+b \tan (c+d x))}{5 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)}\\ \end{align*}

Mathematica [C]  time = 0.493349, size = 103, normalized size = 0.38 \[ -\frac{2 \left (3 a \left (a^2-3 b^2\right ) \, _2F_1\left (-\frac{5}{4},1;-\frac{1}{4};-\tan ^2(c+d x)\right )+b \left (5 \left (3 a^2-b^2\right ) \tan (c+d x) \, _2F_1\left (-\frac{3}{4},1;\frac{1}{4};-\tan ^2(c+d x)\right )+b (9 a+5 b \tan (c+d x))\right )\right )}{15 d \tan ^{\frac{5}{2}}(c+d x)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[(a + b*Tan[c + d*x])^3/Tan[c + d*x]^(7/2),x]

[Out]

(-2*(3*a*(a^2 - 3*b^2)*Hypergeometric2F1[-5/4, 1, -1/4, -Tan[c + d*x]^2] + b*(5*(3*a^2 - b^2)*Hypergeometric2F
1[-3/4, 1, 1/4, -Tan[c + d*x]^2]*Tan[c + d*x] + b*(9*a + 5*b*Tan[c + d*x]))))/(15*d*Tan[c + d*x]^(5/2))

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.015, size = 506, normalized size = 1.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((a+b*tan(d*x+c))^3/tan(d*x+c)^(7/2),x)

[Out]

-2/5/d*a^3/tan(d*x+c)^(5/2)+2/d*a^3/tan(d*x+c)^(1/2)-6/d*a/tan(d*x+c)^(1/2)*b^2-2*a^2*b/d/tan(d*x+c)^(3/2)-3/2
/d*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*a^2*b+1/2/d*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*b^3-3/2/d
*arctan(-1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*a^2*b+1/2/d*arctan(-1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*b^3-3/4/d
*2^(1/2)*ln((1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1-2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*a^2*b+1/4/d*2^(1/
2)*ln((1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1-2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*b^3+1/4/d*ln((1-2^(1/2)
*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*2^(1/2)*a^3-3/4/d*ln((1-2^(1/2)*tan(d*x
+c)^(1/2)+tan(d*x+c))/(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2)+tan(d*x+c)))*2^(1/2)*a*b^2+1/2/d*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)
^(1/2))*2^(1/2)*a^3-3/2/d*arctan(1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*a*b^2+1/2/d*arctan(-1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^
(1/2))*2^(1/2)*a^3-3/2/d*arctan(-1+2^(1/2)*tan(d*x+c)^(1/2))*2^(1/2)*a*b^2

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 1.51527, size = 317, normalized size = 1.17 \begin{align*} \frac{10 \, \sqrt{2}{\left (a^{3} - 3 \, a^{2} b - 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} \arctan \left (\frac{1}{2} \, \sqrt{2}{\left (\sqrt{2} + 2 \, \sqrt{\tan \left (d x + c\right )}\right )}\right ) + 10 \, \sqrt{2}{\left (a^{3} - 3 \, a^{2} b - 3 \, a b^{2} + b^{3}\right )} \arctan \left (-\frac{1}{2} \, \sqrt{2}{\left (\sqrt{2} - 2 \, \sqrt{\tan \left (d x + c\right )}\right )}\right ) - 5 \, \sqrt{2}{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b - 3 \, a b^{2} - b^{3}\right )} \log \left (\sqrt{2} \sqrt{\tan \left (d x + c\right )} + \tan \left (d x + c\right ) + 1\right ) + 5 \, \sqrt{2}{\left (a^{3} + 3 \, a^{2} b - 3 \, a b^{2} - b^{3}\right )} \log \left (-\sqrt{2} \sqrt{\tan \left (d x + c\right )} + \tan \left (d x + c\right ) + 1\right ) - \frac{8 \,{\left (5 \, a^{2} b \tan \left (d x + c\right ) + a^{3} - 5 \,{\left (a^{3} - 3 \, a b^{2}\right )} \tan \left (d x + c\right )^{2}\right )}}{\tan \left (d x + c\right )^{\frac{5}{2}}}}{20 \, d} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^3/tan(d*x+c)^(7/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/20*(10*sqrt(2)*(a^3 - 3*a^2*b - 3*a*b^2 + b^3)*arctan(1/2*sqrt(2)*(sqrt(2) + 2*sqrt(tan(d*x + c)))) + 10*sqr
t(2)*(a^3 - 3*a^2*b - 3*a*b^2 + b^3)*arctan(-1/2*sqrt(2)*(sqrt(2) - 2*sqrt(tan(d*x + c)))) - 5*sqrt(2)*(a^3 +
3*a^2*b - 3*a*b^2 - b^3)*log(sqrt(2)*sqrt(tan(d*x + c)) + tan(d*x + c) + 1) + 5*sqrt(2)*(a^3 + 3*a^2*b - 3*a*b
^2 - b^3)*log(-sqrt(2)*sqrt(tan(d*x + c)) + tan(d*x + c) + 1) - 8*(5*a^2*b*tan(d*x + c) + a^3 - 5*(a^3 - 3*a*b
^2)*tan(d*x + c)^2)/tan(d*x + c)^(5/2))/d

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 15.8719, size = 18251, normalized size = 67.6 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^3/tan(d*x+c)^(7/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/20*(20*sqrt(2)*(d^5*cos(d*x + c)^4 - 2*d^5*cos(d*x + c)^2 + d^5)*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*
a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15
*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6
+ 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 +
b^12)/d^4)^(3/4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4
)*arctan(-((a^24 - 6*a^22*b^2 - 84*a^20*b^4 - 322*a^18*b^6 - 603*a^16*b^8 - 540*a^14*b^10 + 540*a^10*b^14 + 60
3*a^8*b^16 + 322*a^6*b^18 + 84*a^4*b^20 + 6*a^2*b^22 - b^24)*d^4*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6
*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8
- 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4) + sqrt(2)*((3*a^2*b - b^3)*d^7*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 +
15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*
a^2*b^10 + b^12)/d^4) + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^5*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 4
52*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^
4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a
^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 -
30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(((a^18 - 27*a^16*b^2 + 168*a^14*b^4 + 224*a^12*b^6 - 366*a^10*b^8 - 366*a^8*b^10 +
224*a^6*b^12 + 168*a^4*b^14 - 27*a^2*b^16 + b^18)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a
^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((a^15 - 33*a^13*b^2 + 345*a^11*b^4 - 1217*a^9*b^6 + 1
611*a^7*b^8 - 795*a^5*b^10 + 91*a^3*b^12 - 3*a*b^14)*d^3*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 1
5*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + (3*a^20*b - 82*a^18*b^3 + 531*a^16*b^5 + 504*a^14*b^7 - 132
2*a^12*b^9 - 732*a^10*b^11 + 1038*a^8*b^13 + 280*a^6*b^15 - 249*a^4*b^17 + 30*a^2*b^19 - b^21)*d*cos(d*x + c))
*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3
+ 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12
- 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)
)*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(1/4) + (a^24 - 24*a^22
*b^2 + 90*a^20*b^4 + 648*a^18*b^6 + 783*a^16*b^8 - 624*a^14*b^10 - 1748*a^12*b^12 - 624*a^10*b^14 + 783*a^8*b^
16 + 648*a^6*b^18 + 90*a^4*b^20 - 24*a^2*b^22 + b^24)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8
*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(3/4) + sqrt(2)*((3*a^14*b - 37*a^12*b^3 - 69*a^10*b^
5 + 27*a^8*b^7 + 81*a^6*b^9 + 9*a^4*b^11 - 15*a^2*b^13 + b^15)*d^7*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a
^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b
^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4) + (a^21 - 12*a^19*b^2 - 33*a^17*b^4 + 64*a^15*b^6 + 282*a^13*b^8 + 264*a^11*b^10
- 82*a^9*b^12 - 288*a^7*b^14 - 171*a^5*b^16 - 28*a^3*b^18 + 3*a*b^20)*d^5*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*
b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6
+ 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4
+ 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^
4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 1
5*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(3/4))/(a^36 - 18*a^34*b^2 - 39*a^32*b^4 + 848*a^30*b^6 + 5556*a^28*b^8 +
15240*a^26*b^10 + 20420*a^24*b^12 + 5424*a^22*b^14 - 25938*a^20*b^16 - 42988*a^18*b^18 - 25938*a^16*b^20 + 542
4*a^14*b^22 + 20420*a^12*b^24 + 15240*a^10*b^26 + 5556*a^8*b^28 + 848*a^6*b^30 - 39*a^4*b^32 - 18*a^2*b^34 + b
^36)) + 20*sqrt(2)*(d^5*cos(d*x + c)^4 - 2*d^5*cos(d*x + c)^2 + d^5)*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20
*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 1
5*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6
+ 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10
+ b^12)/d^4)^(3/4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^
4)*arctan(((a^24 - 6*a^22*b^2 - 84*a^20*b^4 - 322*a^18*b^6 - 603*a^16*b^8 - 540*a^14*b^10 + 540*a^10*b^14 + 60
3*a^8*b^16 + 322*a^6*b^18 + 84*a^4*b^20 + 6*a^2*b^22 - b^24)*d^4*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6
*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8
- 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4) - sqrt(2)*((3*a^2*b - b^3)*d^7*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 +
15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*
a^2*b^10 + b^12)/d^4) + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^5*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 4
52*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^
4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a
^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 -
30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(((a^18 - 27*a^16*b^2 + 168*a^14*b^4 + 224*a^12*b^6 - 366*a^10*b^8 - 366*a^8*b^10 +
224*a^6*b^12 + 168*a^4*b^14 - 27*a^2*b^16 + b^18)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a
^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((a^15 - 33*a^13*b^2 + 345*a^11*b^4 - 1217*a^9*b^6 + 1
611*a^7*b^8 - 795*a^5*b^10 + 91*a^3*b^12 - 3*a*b^14)*d^3*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 1
5*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + (3*a^20*b - 82*a^18*b^3 + 531*a^16*b^5 + 504*a^14*b^7 - 132
2*a^12*b^9 - 732*a^10*b^11 + 1038*a^8*b^13 + 280*a^6*b^15 - 249*a^4*b^17 + 30*a^2*b^19 - b^21)*d*cos(d*x + c))
*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3
+ 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12
- 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)
)*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(1/4) + (a^24 - 24*a^22
*b^2 + 90*a^20*b^4 + 648*a^18*b^6 + 783*a^16*b^8 - 624*a^14*b^10 - 1748*a^12*b^12 - 624*a^10*b^14 + 783*a^8*b^
16 + 648*a^6*b^18 + 90*a^4*b^20 - 24*a^2*b^22 + b^24)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8
*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(3/4) - sqrt(2)*((3*a^14*b - 37*a^12*b^3 - 69*a^10*b^
5 + 27*a^8*b^7 + 81*a^6*b^9 + 9*a^4*b^11 - 15*a^2*b^13 + b^15)*d^7*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a
^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b
^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4) + (a^21 - 12*a^19*b^2 - 33*a^17*b^4 + 64*a^15*b^6 + 282*a^13*b^8 + 264*a^11*b^10
- 82*a^9*b^12 - 288*a^7*b^14 - 171*a^5*b^16 - 28*a^3*b^18 + 3*a*b^20)*d^5*sqrt((a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*
b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6
+ 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4
+ 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^
4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 1
5*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(3/4))/(a^36 - 18*a^34*b^2 - 39*a^32*b^4 + 848*a^30*b^6 + 5556*a^28*b^8 +
15240*a^26*b^10 + 20420*a^24*b^12 + 5424*a^22*b^14 - 25938*a^20*b^16 - 42988*a^18*b^18 - 25938*a^16*b^20 + 542
4*a^14*b^22 + 20420*a^12*b^24 + 15240*a^10*b^26 + 5556*a^8*b^28 + 848*a^6*b^30 - 39*a^4*b^32 - 18*a^2*b^34 + b
^36)) + 5*sqrt(2)*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d*cos(d*x +
c)^4 - 2*(a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^
12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d + 2*((3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a
*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^4 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^2 + (3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a
*b^5)*d^3)*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^1
2 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)
*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10
*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^
6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(1/4)*log(((a^18 - 27*a^16*b^2 + 168*a^14*b^4 + 224*a^12*b^6 - 36
6*a^10*b^8 - 366*a^8*b^10 + 224*a^6*b^12 + 168*a^4*b^14 - 27*a^2*b^16 + b^18)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15
*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((a^15 - 33*a^13*b^2 + 345
*a^11*b^4 - 1217*a^9*b^6 + 1611*a^7*b^8 - 795*a^5*b^10 + 91*a^3*b^12 - 3*a*b^14)*d^3*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 +
15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + (3*a^20*b - 82*a^18*b^3 + 531*a
^16*b^5 + 504*a^14*b^7 - 1322*a^12*b^9 - 732*a^10*b^11 + 1038*a^8*b^13 + 280*a^6*b^15 - 249*a^4*b^17 + 30*a^2*
b^19 - b^21)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^1
2 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*
a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sq
rt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/
d^4)^(1/4) + (a^24 - 24*a^22*b^2 + 90*a^20*b^4 + 648*a^18*b^6 + 783*a^16*b^8 - 624*a^14*b^10 - 1748*a^12*b^12
- 624*a^10*b^14 + 783*a^8*b^16 + 648*a^6*b^18 + 90*a^4*b^20 - 24*a^2*b^22 + b^24)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))
- 5*sqrt(2)*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d*cos(d*x + c)^4 -
2*(a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d*cos(d*x + c)^2 + (a^12 + 6
*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d + 2*((3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*
d^3*cos(d*x + c)^4 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^2 + (3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*
d^3)*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))*sqrt((a^12 + 6*
a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*s
qrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 +
255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6
+ 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(1/4)*log(((a^18 - 27*a^16*b^2 + 168*a^14*b^4 + 224*a^12*b^6 - 366*a^10
*b^8 - 366*a^8*b^10 + 224*a^6*b^12 + 168*a^4*b^14 - 27*a^2*b^16 + b^18)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b
^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((a^15 - 33*a^13*b^2 + 345*a^11*
b^4 - 1217*a^9*b^6 + 1611*a^7*b^8 - 795*a^5*b^10 + 91*a^3*b^12 - 3*a*b^14)*d^3*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^
8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)*cos(d*x + c) + (3*a^20*b - 82*a^18*b^3 + 531*a^16*b^
5 + 504*a^14*b^7 - 1322*a^12*b^9 - 732*a^10*b^11 + 1038*a^8*b^13 + 280*a^6*b^15 - 249*a^4*b^17 + 30*a^2*b^19 -
b^21)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12 - 2*
(3*a^5*b - 10*a^3*b^3 + 3*a*b^5)*d^2*sqrt((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^
10 + b^12)/d^4))/(a^12 - 30*a^10*b^2 + 255*a^8*b^4 - 452*a^6*b^6 + 255*a^4*b^8 - 30*a^2*b^10 + b^12))*sqrt(sin
(d*x + c)/cos(d*x + c))*((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)/d^4)^(
1/4) + (a^24 - 24*a^22*b^2 + 90*a^20*b^4 + 648*a^18*b^6 + 783*a^16*b^8 - 624*a^14*b^10 - 1748*a^12*b^12 - 624*
a^10*b^14 + 783*a^8*b^16 + 648*a^6*b^18 + 90*a^4*b^20 - 24*a^2*b^22 + b^24)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - 8*(5
*(a^14*b + 6*a^12*b^3 + 15*a^10*b^5 + 20*a^8*b^7 + 15*a^6*b^9 + 6*a^4*b^11 + a^2*b^13)*cos(d*x + c)^4 - 5*(a^1
4*b + 6*a^12*b^3 + 15*a^10*b^5 + 20*a^8*b^7 + 15*a^6*b^9 + 6*a^4*b^11 + a^2*b^13)*cos(d*x + c)^2 - (3*(2*a^15
+ 7*a^13*b^2 - 35*a^9*b^6 - 70*a^7*b^8 - 63*a^5*b^10 - 28*a^3*b^12 - 5*a*b^14)*cos(d*x + c)^3 - 5*(a^15 + 3*a^
13*b^2 - 3*a^11*b^4 - 25*a^9*b^6 - 45*a^7*b^8 - 39*a^5*b^10 - 17*a^3*b^12 - 3*a*b^14)*cos(d*x + c))*sin(d*x +
c))*sqrt(sin(d*x + c)/cos(d*x + c)))/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 +
b^12)*d*cos(d*x + c)^4 - 2*(a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d*c
os(d*x + c)^2 + (a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\left (a + b \tan{\left (c + d x \right )}\right )^{3}}{\tan ^{\frac{7}{2}}{\left (c + d x \right )}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))**3/tan(d*x+c)**(7/2),x)

[Out]

Integral((a + b*tan(c + d*x))**3/tan(c + d*x)**(7/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [A]  time = 1.97608, size = 400, normalized size = 1.48 \begin{align*} \frac{{\left (\sqrt{2} a^{3} - 3 \, \sqrt{2} a^{2} b - 3 \, \sqrt{2} a b^{2} + \sqrt{2} b^{3}\right )} \arctan \left (\frac{1}{2} \, \sqrt{2}{\left (\sqrt{2} + 2 \, \sqrt{\tan \left (d x + c\right )}\right )}\right )}{2 \, d} + \frac{{\left (\sqrt{2} a^{3} - 3 \, \sqrt{2} a^{2} b - 3 \, \sqrt{2} a b^{2} + \sqrt{2} b^{3}\right )} \arctan \left (-\frac{1}{2} \, \sqrt{2}{\left (\sqrt{2} - 2 \, \sqrt{\tan \left (d x + c\right )}\right )}\right )}{2 \, d} - \frac{{\left (\sqrt{2} a^{3} + 3 \, \sqrt{2} a^{2} b - 3 \, \sqrt{2} a b^{2} - \sqrt{2} b^{3}\right )} \log \left (\sqrt{2} \sqrt{\tan \left (d x + c\right )} + \tan \left (d x + c\right ) + 1\right )}{4 \, d} + \frac{{\left (\sqrt{2} a^{3} + 3 \, \sqrt{2} a^{2} b - 3 \, \sqrt{2} a b^{2} - \sqrt{2} b^{3}\right )} \log \left (-\sqrt{2} \sqrt{\tan \left (d x + c\right )} + \tan \left (d x + c\right ) + 1\right )}{4 \, d} + \frac{2 \,{\left (5 \, a^{3} \tan \left (d x + c\right )^{2} - 15 \, a b^{2} \tan \left (d x + c\right )^{2} - 5 \, a^{2} b \tan \left (d x + c\right ) - a^{3}\right )}}{5 \, d \tan \left (d x + c\right )^{\frac{5}{2}}} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((a+b*tan(d*x+c))^3/tan(d*x+c)^(7/2),x, algorithm="giac")

[Out]

1/2*(sqrt(2)*a^3 - 3*sqrt(2)*a^2*b - 3*sqrt(2)*a*b^2 + sqrt(2)*b^3)*arctan(1/2*sqrt(2)*(sqrt(2) + 2*sqrt(tan(d
*x + c))))/d + 1/2*(sqrt(2)*a^3 - 3*sqrt(2)*a^2*b - 3*sqrt(2)*a*b^2 + sqrt(2)*b^3)*arctan(-1/2*sqrt(2)*(sqrt(2
) - 2*sqrt(tan(d*x + c))))/d - 1/4*(sqrt(2)*a^3 + 3*sqrt(2)*a^2*b - 3*sqrt(2)*a*b^2 - sqrt(2)*b^3)*log(sqrt(2)
*sqrt(tan(d*x + c)) + tan(d*x + c) + 1)/d + 1/4*(sqrt(2)*a^3 + 3*sqrt(2)*a^2*b - 3*sqrt(2)*a*b^2 - sqrt(2)*b^3
)*log(-sqrt(2)*sqrt(tan(d*x + c)) + tan(d*x + c) + 1)/d + 2/5*(5*a^3*tan(d*x + c)^2 - 15*a*b^2*tan(d*x + c)^2
- 5*a^2*b*tan(d*x + c) - a^3)/(d*tan(d*x + c)^(5/2))